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Omschrijving

Ein BanachraumE heißt Grothendieck-Raum, falls in E' jede u(E', E)-kon- vergente Folge u(E', E")-konvergent ist. Man sagt dann auch, E besitzt die Gro- thendieck-Eigenschajt. Die Klasse der Grothendieck-Räume enthält offensichtlich alle reflexiven Ba- nachräume. Die ersten nicht trivialen Beispiele für Grothendieck-Räume stam- men von A. GROTHENDIECK selbst. In seiner 1953 erschienenen Arbeit "Sur les applications Iinerures faiblement compactes d'espaces du type C(.K)" ([27]) zeigt er, daß für jeden Stoneschen Raum K der Banachraum C(K) der stetigen, reell- wertigen Funktionen auf K die Grothendieck-Eigenschaft besitzt. Der Beweis des Grothendieckschen Resultats stützt sich im wesentlichen auf (1) die ebenfalls von GROTHENDIECK stammende Charakterisierung relativ schwach kompakter Mengen von Radonmaßen auf lokalkompakten Räumen ([27, Theoreme 2] und [56, 11.9.8]), (2) das Lemma von PHILLIPS ([56, 11.10.3]) und (3) Elemente der Ordnungstheorie. So impliziert die Vorgabe eines Stoneschen Raumes K die Ordnungsvollständig- keit des Vektorv rbandes C(K) ([56, 11.7.7]). Des weiteren stellt der Stonesche Darstellungssatz eine Verbindung her zwischen Stoneschen Räumen und voll- ständigen Booleschen Algebren ([56, II. Exerc.1]). (1) und (2) nützen diese Sach- verhalte dann entscheidend aus. Im Beweis von Satz 1.4 der vorliegenden Arbeit sind die eben angedeuteten Zusammenhänge im Detail ausgeführt. Zahlreiche Verallgemeinerungen von Grothendiecks Resultat wurden inzwi- schen bewiesen. Die Beweise werden dabei meist von den oben angeführten Punkten (1), (2) (Erweiterungen von (2)) und (3) getragen. Von ihren Aussagen her lassen sich diese Verallgemeinerungen im wesentlichen in drei Gruppen unter- teilen.