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Omschrijving

Konvexe Figuren haben von jeher in der Geometrie eine bedeutende Rolle gespielt. Die durch ihre Konvexitätseigenschaft allein charakteri- sierten Gebilde hat aber erst BRUNN zum Gegenstand umfassender geometrischer Untersuchungen gemacht. In zwei Arbeiten "Ovale und Eiflächen" und "Kurven ohne Wendepunkte" aus den Jahren 1887 und 1889 (vgl. Literaturverzeichnis BRUNN [1J, [2J) hat er neben zahl- reichen Sätzen der verschiedensten Art über konvexe Bereiche und Körper einen Satz über die Flächeninhalte von parallelen ebenen Schnitten eines konvexen Körpers bewiesen, der sich in der Folge als fundamental herausgestellt hat. Die Bedeutung dieses Satzes hervor- gehoben zu haben, ist das Verdienst von MINKOWSKI. In mehreren Arbeiten, insbesondere in "Volumen und Oberfläche" (1903) und in der großzügig angelegten, unvollendet gebliebenen Arbeit "Zur Theorie der konvexen Körper" (Literaturverzeichnis [3J, [4J) hat er durch Ein- führung von grundlegenden Begriffen wie Stützfunktion, gemischtes Volumen usw. die dem Problemkreis angemessenen formalen Hilfsmittel geschaffen und vor allem den Weg zu vielseitigen Anwendungen, speziell auf das isoperimetrische (isepiphane) und andere Extremalprobleme für konvexe Bereiche und Körper eröffnet. Weiterhin hat MINKOWSKI den engen Zusammenhang dieser Begriffsbildungen und Sätze mit der Frage nach der Bestimmung konvexer Flächen durch ihre GAusssche Krüm- mung aufgedeckt und tiefliegende diesbezügliche Sätze bewiesen.