Sur les caractères des groupes réductifs finis à centre non connexe, applications aux groupes spéciaux linéaires et unitaires

Un premier but de cet article est de présenter une synthèse des résultats de plusieurs auteurs concernant les caractères des groupes réductifs finis à centre non connexe. Nous nous intéressons particulièrement aux problèmes directement liés à la non connexité du centre. Nous insistons notamment sur les caractères de Gelfand-Graev et les caractères semisimples.

Un deuxième but est d'étudier l'influence de la non connexité du centre sur la théorie des faisceaux-caractères. Nous nous concentrons sur la famille des faisceaux-caractères dont le support rencontre la classe unipotente régulière: ce sont les analogues naturels des caractères semisimples.

Le dernier but est l'application de ces résultats aux groupes réductifs finis de type A, déployés ou non (comme par exemple les groupes spéciaux linéaires ou unitaires). Lorsque le cardinal du corps fini de référence est assez grand, nous obtenons un paramétrage des caractères irréductibles, calculons explicitement le foncteur d'induction de Lusztig dans la base des caractères irréductibles, paramétrons les faisceaux-caractères et montrons que les fonctions caractéristiques de ces faisceaux-caractères sont des transformées de Fourier des caractères irréductibles (conjecture de Lusztig). Ces résultats permettent de construire un algorithme théorique pour calculer la table de caractères de ces groupes.