Poisson ensembles of loops of one-dimensional diffusions

Il y a une mesure naturelle sur les boucles (trajectoires paramétrées par le temps, qui à la fin retournent à leur origine) qu'on peut associer à une large classe de processus de Markov. Les ensembles poissoniens de boucles markoviennes sont des processus ponctuels de Poisson d'intensité proportionnelle à ces mesures. Dans une grande généralité, ces ensembles poissoniens de boucles markoviennes sont reliés, au paramètre d'intensité 1/2, au champ libre gaussien, et au paramètre d'intensité 1, aux boucles crées par une trajectoire markovienne. Ici nous étudions le cas spécifique où le processus de Markov est une diffusion unidimensionnelle. Après une description détaillée de la mesure, nous étudions les processus ponctuels de Poisson des boucles, leurs champs d'occupation et expliquons comment séquencer ces ensembles poissoniens de boucles à partir de trajectoires de diffusions perturbées à leur minima successifs. Enfin, nous introduisons un couple de processus ponctuels déterminantaux sur la droite, entrelacés, qui est un dual, à travers l'algorithme de Wilson, de l'ensemble poissonien de boucles, et étudions les propriétés de ces processus ponctuels déterminantaux.

There is a natural measure on loops (time-parametrized trajectories that in the end return to the origin), which one can associate to a wide class of Markov processes. The Poisson ensembles of Markov loops are Poisson point processes with intensity proportional to these measures. In wide generality, these Poisson ensembles of Markov loops are related, at intensity parameter 1/2, to the Gaussian free field, and at intensity parameter 1, to the loops done by a Markovian sample path. Here, we study the specific case when the Markov process is a one-dimensional diffusion. After a detailed description of the measure, we study the Poisson point processes of loops, their occupation fields, and explain how to sample these Poisson ensembles of loops out of diffusion sample path perturbed at their successive minima. Finally, we introduce a couple of interwoven determinantal point processes on the line, which is a dual through Wilson's algorithm of Poisson ensembles of loops, and study the properties of these determinantal point processes.