Opérateurs géométriques, invariants conformes et variétés asymptotiquement hyperboliques

En 1985, Fefferman et Graham ont introduit un programme ambitieux (dit de la « métrique ambiante ») d'étude des invariants locaux de la géométrie conforme. Celui-ci s'est considérablement développé ces dernières années, menant à la définition de nombreux objets nouveaux : opérateurs de Graham-Jenne-Mason-Sparling (GJMS) généralisant ceux de Yamabe et de Paneitz, Q-courbure de Branson... et à des applications parfois spectaculaires et inattendues : classification des variétés conformément plates de dimension 4 à caractéristique d'Euler positive, théorème « de pincement conforme » de la sphère, etc. Absentes de la stratégie originelle, la géométrie et l'analyse sur les variétés asymptotiquement hyperboliques d'Einstein (ou Poincaré-Einstein) se sont révélées un élément essentiel du programme. L'objectif de ce livre est de présenter un panorama des développements récents et une synthèse des principaux résultats, accessible à des lecteurs ayant une connaissance de base de la géométrie riemannienne.

In 1985, Fefferman and Graham initiated an ambitious program of study of conformal geometry (known as the « ambient metric » method). This has known tremendous developments in the last few years, leading to the definition of a number of new invariants : Graham-Jenne-Mason-Sparling (GJMS) operators generalizing the Yamabe and Paneitz operators, Branson Q-curvatures... and to remarkable applications to conformally flat manifolds of dimension 4 and nonnegative Euler characteristic, or to conformally invariant pinching theorems. An essential role is played in the theory by asymptotically hyperbolic Einstein metrics (or Poincaré-Einstein metrics) associated to a conformal class. The book is devoted to a présentation of the theory together with a description of the latest developments. It should be accessible to all readers having a basic knowledge of Riemannian geometry.