Mathématiques, triangles curvilignes et représentations conformes

Le présent ouvrage étudie les transformations
conformes du demi-plan supérieur de C sur les intérieurs
de certains polygones dont les côtés sont des segments
ou des arcs de cercle. Parmi ces polygones figurent
les triangles habituels, mais aussi ceux dont les côtés
sont curvilignes. Les fonctions inverses, qui appliquent
donc des intérieurs de polygones sur le demi-plan
supérieur, tout particulièrement lorsque ces polygones
sont des rectangles ou des triangles dont les trois angles
sont ou nuls ou égaux à Pi/p où les nombres p sont des
entiers, sont définies à l'aide de fonctions méromorphes
et doublement périodiques qui sont des fonctions
elliptiques. L'existence d'une telle fonction inverse est
liée à la propriété selon laquelle ces rectangles ou ces
triangles engendrent, par des symétries répétées par
rapport aux côtés, un recouvrement du plan complexe
ou du demi-plan ou d'un disque ouvert de C, réalisant
ainsi des généralisations des pavages que l'on connaît
bien quand ils sont construits avec, par exemple, des
triangles équilatéraux.

Les bases nécessaires à cette étude font intervenir
la théorie de la variable complexe, les prolongements
analytiques par symétrie et une mise en place minimum
des définitions et des propriétés des fonctions elliptiques
et des fonctions modulaires.

Ce livre servira aux étudiants de master des universités,
leur apportant des exemples de transformations
conformes où l'étude est basée sur la manipulation de
fonctions définies par des intégrales, leur donnant des
indications sur une famille de fonctions spéciales liées
aux fonctions elliptiques, leur fournissant également
des méthodes de comparaison de fonctions fondées sur
l'analyse de leurs points singuliers.