Les rudiments du calcul stochastique

Les rudiments du calcul stochastique

Cours et exercices corrigés

Comment intégrer par rapport à un processus stochastique comme le mouvement brownien ? C'est à cette tâche que s'emploie le présent ouvrage. Les outils qui y sont développés permettent d'étendre le calcul différentiel et intégral pour prendre en compte des fonctions dont les valeurs au cours du temps sont soumises à des perturbations aléatoires comme c'est souvent le cas dans la réalité.

L'ouvrage est destiné à des étudiants et étudiantes qui veulent comprendre les fondements du calcul stochastique et son utilisation. Il convient à des programmes de deuxième cycle de l'enseignement supérieur (Master ou M.Sc. selon les pays) en mathématiques, finance mathématique ou statistique.

Dans le premier chapitre, on présente des rappels sur les notions de probabilité, de variable aléatoire, d'espérance et d'espérance conditionnelle sans oublier le concept de martingale tel qu'illustré par le gain net cumulatif dans des jeux de pur hasard. Le chapitre suivant est consacré au mouvement brownien standard, la martingale la plus importante à temps continu et à espace d'état continu. Le coeur de l'ouvrage est une introduction à l'intégrale d'Itô par rapport à ce mouvement et aux principales formules du calcul stochastique qui y sont associées. Ces formules sont par la suite utilisées pour résoudre des équations différentielles stochastiques, puis appliquées à la finance et à d'autres domaines. L'ouvrage se conclut par une trentaine de pages de corrigés d'exercices détaillés.

En admettant des connaissances préalables en théorie des probabilités et en théorie de la mesure, la plupart des affirmations, sinon toutes, sont justifiées. Les sections et les démonstrations les plus exigeantes sont cependant indiquées comme étant facultatives lors d'une première lecture. On y trouve des explications qui sont souvent absentes dans les ouvrages comparables.