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Les Fondements des mathématiques ont été rédigés par Bernays en suivant fidèlement les vues de Hilbert. Publiés par Springer en 1934 et 1939, ils retracent les conceptions visionnaires de Hilbert sur la mathématisation de la logique et le développement technique de celle-ci, tel qu'il se présentait à l'époque, à partir des cours professés par Hilbert quelques années avant 1920 et à partir des contributions ultérieures de ses collaborateurs à Göttingen ou de correspondants extérieurs. Ce monument de la pensée mathématique a connu une seconde édition, revue sur divers points, en 1968 et 1970.
La seule traduction qui en soit parue jusqu'ici est russe. Voici cet ouvrage mis à la disposition des lecteurs francophones, philosophes et historiens des mathématiques, mathématiciens, logiciens et informaticiens utilisateurs des outils de la logique, dans une traduction qui, basée sur la seconde édition, incorpore les variantes de la première.
Ce second tome présente les résultats les plus pointus de son temps dans la recherche en théorie de la preuve. Il contient une explication complète du programme technique, élaboré par Hilbert en vue de prouver la non-contradiction de l'arithmétique de Peano du premier ordre.
La métamathématique de l'arithmétique y est arithmétisée complètement, et des preuves détaillées des deux théorèmes de Gödel y sont déployées, ce que font fort peu de manuels et de traités pour ce qui est du second de ces théorèmes.
Le théorème d'Herbrand sert, dans l'ouvrage, de pivot au traitement finitiste de l'arithmétique formalisée. Le lecteur y trouvera également le théorème de non-contradiction des théories formalisées à l'aide d'axiomes "vérifiables" dénués de variables liées, et son corollaire bien connu sur les théorèmes formels Pi-2.
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