Filternde Zerlegungen

Das schnelle Lösen großer, schwachbesetzter linearer und nichtlinearer Glei- chungssysteme ist in den letzten Jahren immer mehr in den Brennpunkt des Interes- ses gerückt. Der Grund hierfür ist vor allem in der wachsenden Verflechtung von Numerischer Mathematik und Anwendungsbereichen zu suchen. So sind etwa die Probleme in der Numerischen Strömungsmechanik auch bei Verwendung der mod- ernsten Computertechnologie kaum noch mit bisher oft üblichen Hau-Ruck-Metho- den zu lösen. Inzwischen existieren verschiedene Klassen schneller und moderner Verfahren zur Lösung der hierbei auftretenden großen Gleichungssysteme. Zu nen- nen sind insbesondere Mehrgittertechniken und die Familie der Verfahren der kon- jugierten Gradienten. Beide Verfahrenstypen lassen sich jedoch nicht ohne substan- tiellen Effizienzverlust auf singulär gestörte Systeme anwenden. Daher ist es ein wichtiges Anliegen der gegenwärtigen Forschung, robuste Verfahren zu konstruie- ren, mit denen ein möglichst großer Anwendungsbereich effizient behandelt werden kann. In diesem Buch wird nun mit den filternden Zerlegungen eine neue Klasse von Verfahren für große Gleichungssysteme vorgestellt. Filternde Zerlegungen lassen sich in Kombination mit klassischen Methoden, also etwa als Glätter in Mehrgitter- verfahren oder als Vorkonditionieret für cg-artige Verfahren einsetzen, sie dienen aber auch als Grundlage für ein eigenständiges Verfahren (Glätter-Korrektor-Ver- fahren) zum Lösen großer Gleichungssysteme. Dieses Glätter-Korrektor-Verfahren ist dem Mehrgitterverfahren nachempfunden, ist jedoch rein algebraisch konstruiert und braucht daher nur ein Gitter. Das so entstandene Verfahren ist von nahezu opti- maler Effizienz, die bei Problemen mittlerer Größe mit derjenigen eines entspre- chenden Mehrgitterverfahrens vergleichbar ist. Ferner ist es sehr vielseitig und hat gute Robustheitseigenschaften, wie entsprechende Tests zeigen.