Dynamical complexity and controlled operator K-theory

Nous introduisons une nouvelle propriété des systèmes dynamiques topologiques, que nous appelons complexité dynamique finie. Les produits-croisés de C*-algèbres associés aux systèmes dynamiques ayant cette propriété peuvent être décomposés en parties plus simples, ce qui permet de calculer leurs groupes de K-théorie, via des méthodes de K-théorie contrôlée.

Dans cet article, nous illustrons cette idée en donnant une nouvelle preuve de la conjecture de Baum-Connes pour les actions de complexité dynamique finie. Nous avons essayé de rendre l'article aussi indépendant du reste de la littérature que possible, afin qu'il reste accessible pour quelqu'un n'ayant suivi qu'un premier cours de K-théorie opératorielle. En particulier, nous ne supposons aucune connaissance préalable de la K-théorie contrôlée, et nous utilisons un nouveau modèle concret pour la conjecture de Baum-Connes à coefficients qui n'utilise pas la K-théorie bivariante de Kasparov.

In this volume, we introduce a property of topological dynamical systems that we call finite dynamical complexity. For systems with this property, one can in principle compute the K-theory of the associated crossed product C*-algebra by splitting it up into simpler pieces and using the methods of controlled K-theory. The main part of the paper illustrates this idea by giving a new proof of the Baum-Connes conjecture for actions with finite dynamical complexity.

We have tried to keep the paper as self-contained as possible: we hope the main part will be accessible to someone with the equivalent of a first course in operator K-theory. In particular, we do not assume prior knowledge of controlled K-theory, and use a new and concrete model for the Baum-Connes conjecture with coefficients that requires no bivariant K-theory to set up.