Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles

La théorie des distributions, construite par Laurent Schwartz vers 1950, est le cadre le mieux adapté à l'étude systématique des équations aux dérivées partielles.

L'objectif de ce livre est de donner un exposé approfondi du calcul des distributions permettant d'aborder la plupart des questions relatives à l'analyse des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants.

Le cas des équations aux dérivées partielles d'ordre un, étudié au début de l'ouvrage, sert de motivation à la notion de distribution et aux principales opérations du calcul des distributions (dérivation, multiplication par une fonction indéfiniment dérivable, produit de convolution, transformation de Fourier...). L'étude détaillée de ces différentes opérations occupe la première partie de ce livre.

La deuxième partie de l'ouvrage est consacrée à une présentation de la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants d'ordre supérieur à un. Cette théorie est présentée à travers les principaux exemples d'équations aux dérivées partielles de la physique mathématique (équations de Laplace et de Poisson, de la chaleur, de Schrödinger et des ondes), étudiées systématiquement du point de vue de la notion de « solution élémentaire » et de « solution au sens des distributions des problèmes de Cauchy ».

Cet ouvrage ne fait appel qu'au minimum des notions de topologie et d'analyse (intégration, calcul différentiel, fonctions holomorphes d'une variable complexe...) indispensable à l'exposé. Toutes les notions présentées sont illustrées par de très nombreux exemples traités en détail.

Ce livre s'adresse principalement aux étudiants en master de mathématiques et aux élèves des écoles d'ingénieurs, ainsi qu'aux candidats à l'agrégation de mathématiques.