Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique

Cours d'analyse de l'école polytechnique

Je rappellerai d'abord qu'on a commencé par étendre aux quantités littérales les opérations ordinaires de l'Arithmétique, addition, soustraction, multiplication et division. On traite ensuite de la résolution des équations et systèmes d'équations du premier degré, et l'on aborde enfin les équations de degré quelconque. Or, à propos de la division algébrique, apparaît déjà la considération toute spéciale des polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable, dont l'étude plus approfondie, constitue plus précisément ce qu'on nomme la théorie générale des équations. Les éléments d'Algèbre ont donc pour principal objet les propriétés des fonctions rationnelles et entières d'une variable, et ils conduisent ainsi a l'Analyse, c'est à dire à l'étude générale des fonctions. Ce qui concerne la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues se rattache d'ailleurs au même point de vue, car alors on ne fait au fond qu'établir certaines propriétés d'un système de fonctions linéaires de plusieurs variables. Mais ici il importe de rendre parfaitement clair ce qu'on entend dire par étude générale des fonctions.

Il a été question tout à l'heure de polynômes ; or les éléments conduisent encore à d'autres expressions qu'on nomme transcendantes, par exemple l'exponentielle et le logarithme, et en second lieu le sinus, le cosinus, la tangente d'un arc. Les premières sont étudiées en Algèbre même, et les autres sont le sujet de la Trigonométrie, qui n'est visiblement qu'un chapitre spécial d'Algèbre, donnant, parmi bien d'autres conséquences, la résolution numérique des triangles. Maintenant on peut poser une question : N'existe-t-il de fonctions que celles dont nous venons de parler et leurs combinaisons ? Si la réponse était affirmative, l'Analyse laisserait apercevoir ses bornes, son champ serait fini et limité ; mais il est bien loin d'en être ainsi, le Calcul différentiel et le Calcul intégral étendent indéfiniment leur domaine en fournissant l'origine et posant la base de l'étude d'un nombre infini de fonctions nouvelles. Ainsi l'on comprend que Lagrange ait donné à l'un de ses Ouvrages, qui est précisément consacré à une exposition des principes du Calcul différentiel et du Calcul intégral, le titre de Leçons sur le Calcul des fonctions. En suivant la pensée de ce grand géomètre, nous allons présenter sur les fonctions connues par les éléments quelques considérations qui serviront d'introduction à ce Cours, et dont il sera souvent fait usage par la suite.