Applications à la théorie de la mesure

Analyse I. Théorie des ensembles et topologie. Les cinq premiers axiomes de la théorie des ensembles. Axiome du choix. Les entiers naturels : l'axiome de l'infini. Relation d'équivalence. Ensemble quotient. Relation d'ordre. Lemme de Zom. Opérations sur les ensembles infinis. Les nombres ordinaux et cardinaux. Espaces métriques. Espaces topologiques. Fonctions continues. Espaces compacts. Suites et filtres. Propriétés des fonctions continues sur un espace compact. Espaces localement compacts. Espaces connexes. Espaces métriques complets. Théorie élémentaire des espaces vectoriels normés et des espaces de Banach. Séries dans les espaces vectoriels normés. Espaces fonctionnels : convergence simple et uniforme. Théorie spectrale élémentaire. Produits infinis de nombres ou de fonctions réels ou complexes.

Analyse II. Calcul différentiel, et équations différentielles, Espaces affines Fonctions réelles d'une variable réelle. Dérivée d'une application d'un espace affine dans un autre. Dérivation des fonctions composées. Applications au changement de variables. Formule des accroissements finis. Application. Dérivées d'ordre supérieur. Formale de Taylor. Maxima et minima, Théorème des fonctions implicites. Variétés différentiablés. Maxima et minima liés, Calcul des variations. Théorèmes d'existence et d'unicité (conditions globales). Continuité de la solution par rapport à un paramètre. Théorèmes d'existence et d'unicité (conditions globales) Continuité de la solution par rapport à un paramètre. Théorèmes d'existence et d'unicité (conditions locales). Prolongement des solutions locales et d'une équations différentielle ; solution maximale. Majoration a priori des solutions d'une équation différentielle. Une condition d'existence de solutions globale sur (a.b). Equation différentielle définie par un champ de vecteurs, Résolvante d'une équation différentielle linéaire. Equation linéaires avec second membre. Application de la théorie des équations différentielles linéaires à la continuité et à la dérivabilité de la solution d'une équation différentielle dépendant d'un paramètre. Exponentielle d'un opérateur. Construction de l'exponentielle d'un opérateur. Solutions bornées des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Analyse III. Calcul intégral. Intégrale de Riemann sur la droite réelle. Espaces mesurés, intégrale supérieure associée à une mesure positive sur un clan. Mesures de Radon à valeurs scalaires et vectorielles. Intégrale supérieure associée à une mesure de Radon positive. Fonctions mesurables. Fonctions à valeurs vectorielles intégrables. Espaces £p (W, m, F). Mesures abstraites à valeurs vectorielles. Variation totale d'une mesure vectorielle. Mesure induite. Mesure de base m. Théorèmes de Radon-Nikodym. Décomposition de Lebesgue d'une mesure. Image d'une mesure par une application. Produit d'espaces mesurés. Théorèmes de Fubini. Invariance de la mesure de Lebesgue par les isométries. Théorème de dérivation de Lebesgue.

Analyse IV. Applications de la Théorie de la mesure, Convolution des fonctions. Convolutions des mesures. Transformation de Fourier des fonctions. Transformée de Fourier des mesures bornées. Convergence vague d'une suite de mesures vers une mesure de Dirac. Convergence étroite d'une suite de mesures de normes finies. Théorème de Paul Lévy. Fonctions à variation bornée sur la droite. Longueur d'un chemin dans un espace métrique. Fonctions absolument continues et intégrales indéfinies. Critère d'Abel pour la semi-convergence des intégrales impropres. Intrégrales multiples sur Rⁿ, longueurs, aires, volumes dans les espaces euclidiens affines de dimension finie. Changement de variable dans les intégrales multiples sur Rⁿ, Calcul d'intégrales à partir d'intégrales d'hypersurface. Fonctions représentées par des séries. Fonctions représentées par des intégrales. Cas des intégrales impropres convergente. Application à la divisibilité des fonctions dérivables. Formule de Stoles. Intégrale eulérience. Formale d'Euler-McLaurin.