Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles

Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles

La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d'équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l'EDP par un ensemble d'équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n'est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple.

L'analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d'introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP. Elle s'appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L'analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l'équation équivalente remplace l'équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement.

Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d'advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d'oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu'elles peuvent souvent être décrites à l'aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l'ordre et du caractère principal du schéma.

Ce livre s'adresse à un public d'étudiants, du master au doctorat, d'ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux.